Родился в селе Ведучи в горном Итум-Калинском районе на юге Чечни. Принадлежит к тейпу хачарой. В начале 1990-х годов перебрался в Москву, где занялся бизнесом.
Байсаров был владельцем салона красоты модного стилиста Сергея Зверева в Центре Международной Торговли на Краснопресненской набережной в Москве, в здании которого также располагались казино, гостиница и развлекательный центр, которым владел Руслан.
с 1994 по 2002 гг. - вице-президент Московской топливной ассоциации (до ноября 1997 года организация называлась «Ассоциация поддержки независимых АЗС»). В 2000 году стал вице-президентом Московской Топливной Компании, владеющей более 100 АЗС в Москве и входящей в холдинг ЦТК, контролируемый правительством Москвы.
В 1997 году вместе с кинорежиссёрами Фёдором Бондарчуком и Степаном Михалковым открыл ресторан в Москве.
В 2007 году вместе с другими влиятельными членами московской чеченской общины участвовал в собрании в «Президент-отеле» в Москве, на котором выразил поддержку президенту Чечни Рамзану Кадырову.
В 2009 году Байсаров являлся Первым вице-президентом Московской Нефтегазовой компании (МНГК). Председателем совета директоров этой компании, по состоянию на 2009 год, является мэр Москвы Юрий Лужков. В систему управления этой компании входит ОАО «Московский нефтеперерабатывающий завод» в Капотне, ОАО «Моснефтепродукт» и ОАО «Московская топливная компания» (сеть более чем из 70 бензозаправок в Москве).
Байсаров является одним из самых богатых бизнесменов чеченского происхождения. Его состояние, по некоторым данным, составляет более 200 миллионов долларов.
Член-корреспондент Академии проблем безопасности, обороны и правопорядка; автор ряда научных работ.
Официально прописан в селе Пригородное Грозненского района Чеченской республики. Однако по данным СМИ постоянно проживает в Подмосковье в особняке на Рублёвке.
Супруга и его дети от разных браков (сыновья Дени и Элман, дочери Камилла и Дали) проживают вместе с ним.